杜兰特符号-百度百科

杜兰特符号是美国数学家Julia duarte.html">Duarte于1987年提出的。其中包含了对于代数的三维几何性质的描述。

杜兰特符号的定义如下:令A=({\begin{bmatrix}0&0\\1&1\\\end{bmatrix}})^{\otimes 3})=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&1&0\end{pmatrix}\in S^{3},则A上的杜兰特符号为

\Delta_{A}(x)=\sum_{f\in I(A)}\mu(f)x^{\sigma(f)},其中I(A)是A的非平凡二次形式集,\mu(f)是f的符号。\sigma(f)是f在A上的次式。根据杜兰特符号，A上的多项式为

p_{A}(x)=\sum_{f\in I(A)}\mu(f)x^{\deg f}.

这里需要注意的是I(A)的元素集合，并不是一个代数群，而是A上的一类二次形式集，其中一些二次形式是平凡的（即其对应线性变换等于零）。这些平凡的二次形式对应的线性变换全等于零，这意味着它们在杜兰特符号中不产生任何贡献。因此，在实际计算中，需要考虑的是非平凡二次形式集。\mu(f)是f的符号，其定义是

\mu(f)=\det (A_{f})^2,其中A_{f}是f对应的线性变换（注意：这里的行列式是一个实数，而不是一个复数，且符号为正）。这意味着μ(f)是整数。σ(f)是f在A上的次式，其定义是

\sigma(f)=\dim \operatorname{Ker} A_{f},其中\operatorname{Ker} A_{f}是A_{f}的核。这里需要注意的是σ(f)是整数。根据以上描述，p_{A}(x)是一个多项式，其定义涉及到二次形式集I(A)，线性变换群和行列式等概念。\mu(f)和\sigma(f)是整数，其对应的含义分别是符号和次式。杜兰特符号是一种表示代数几何性质的新方法，具有重要意义.